新形式 $L$ 函数的极值

2008 年，Soundararajan 证明存在一个权重为 $k$、级别为一的归一化 Hecke 本征形式 $f$，使得 $$L(1/2, f ) ~\geq~ \exp\Bigg( (1 + o(1)) \sqrt{\frac{2\log k}{\log\log k} }\Bigg)$$ 当足够大的 $k \equiv 0 \pmod{4}$ 时成立。在本文中，我们证明对于任意 $\epsilon>0$ 和所有足够大的 $k \equiv 0 \pmod{4}$，满足 $$L(1/2, f ) ~\geq~ \exp\left(1.41\sqrt{ \frac{ \log k }{\log\log k} }\right)$$ 的归一化 Hecke 本征形式的数量为 $\gg_{\epsilon} k^{1-\epsilon}$。对于奇基本判别数 $D$，设 $B_{k}(|D|)$ 为所有权重为 $k$、级别整除 $|D|$ 的齐次归一化 Hecke 本征形式的集合。当实原始 Dirichlet 字符 $\chi_D$ 满足 $\chi_D(-1)= i^k$ 时，我们研究 $f \in B_{k}(|D|)$ 中 $L(1/2, f \otimes \chi_D)$ 取极端值形式的数量。