关于 Landau-Siegel 零点与奇异模的高度

设 $\chi_D$ 为与 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 相关的 Dirichlet 特征，其中 $D < 0$ 为基本判别式。在改进 Granville-Stark [DOI:10.1007/s002229900036] 的基础上，我们证明 $$\frac{L'}{L}(1,\chi_D) = \frac{1}{6}\, \mathrm{height}(j(\tau_D)) - \frac{1}{2}\log|D| + C + o_{D\to -\infty}(1),$$ 其中对于 $D \equiv \delta ~(\mathrm{mod}~4)$ 有 $\tau_D = \frac 12(-\delta+\sqrt{D})$，$j(\cdot)$ 为 $j$-不变量函数，且 $C = -1.057770\ldots$。在假设数域的“一致” $abc$-猜想下，我们推得 $L(\beta,\chi_D)\ne 0$，其中 $\beta \geq 1 - \frac{\sqrt{5}\varphi + o(1)}{\log|D|}$，$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$；我们对光滑的 $D$ 改进了该结果。