退化视界外的Schwarzschild初值数据

在本注记中，我们证明：若$g$是$\mathbb{S}^2$上的光滑黎曼度量，且算子$L_g:=-\Delta_g +K_g$的第一特征值满足$\lambda_1(L_g)=0$，则$(\mathbb{S}^2, g)$可作为渐近平坦初值集中的视界出现，其ADM质量可任意接近相关的Hawking质量$\sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2, g)/16\pi}$。特别地，这确定了此情形下与$(\mathbb{S}^2, g)$相关的Bartnik准局域质量（由Bartnik于1989年引入\cite{Bartnik}）。我们通过修改Mantoulidis-Schoen \cite{MS}的构造来证明这些结论，他们在$\lambda_1(L_g)>0$的情形下证明了相同结果。由此可知，在主导能量条件与时间对称设定下，$\lambda_1(g)\geq 0$是$(\mathbb{S}^2, g)$能由渐近平坦时空中的视界产生的充要条件，且该视界的Bartnik质量为$\sqrt{\text{area}(\mathbb{S}^2, g)/16\pi}$。