$s\ell(2)$模型在单位根处的扩展T系统、Q矩阵与T-Q关系

我们考虑临界六顶点模型的相互对易的$1\times n$融合单行列与双行列转移矩阵，其处于单位根$q=e^{i\lambda}$处，交叉参数$\lambda=\frac{(p'-p)\pi}{p'}$为$\pi$的有理分数。类似地考虑稠密环模型类比，即对数极小模型${\cal LM}(p,p')$的$1\times n$转移矩阵。对于这些$s\ell(2)$模型，我们找到$T$系统函数方程的显式闭包关系，并获得扩展的双线性$T$系统恒等式集。我们还定义扩展$Q$矩阵为融合转移矩阵的线性组合，并获得扩展矩阵$T$-$Q$关系。这些结果对柱面上的对角扭曲边界条件以及条带上的$U_q(s\ell(2))$不变/Kac真空与离对角/Robin真空边界条件均成立。利用我们的扩展$T$系统和扩展$T$-$Q$本征值关系，我们推导出通常的标量Baxter $T$-$Q$关系，以及融合层级$n=p'-1$处融合转移矩阵$T^{n}(u+\lambda)$和$D^{n}(u+\lambda)$的Bazhanov-Mangazeev分解，表示为乘积$Q^+(u)Q^-(u)$或$Q(u)^2$。由此可知，$T^{p'-1}(u+\lambda)$和$D^{p'-1}(u+\lambda)$的零点由Bethe根和完整的$p'$弦组成。我们还澄清了Pronko以及Yang-Nepomechie-Zhang的形式观察，并在有利条件下确立了融合转移矩阵辅助空间中无限融合极限$n\to\infty$的存在性。尽管有此联系，由于函数方程的有限闭包，在单位根处不需要无限维振子表示。