对数极小模型的融合层次、T-系统和 Y-系统

Temperley-Lieb (TL) 圈模型是一种具有非局部自由度的 Yang-Baxter 可积格点模型。在宽度为 N 的条带上，演化算子是双行传递缠结 D(u)，它是具有圈逸度 beta=2cos(lambda) 的 TL 代数 TL_N(beta) 的一个元素。类似地，在圆柱面上，单行传递缠结 T(u) 是扩大的周期性 TL 代数的一个元素。对数极小模型 LM(p,p') 构成了 TL 圈模型的一个子族，其交叉参数 lambda=(p'-p)pi/p' 由互质整数 0<p<p' 参数化。对于这些特殊值，额外的对称性允许谱中出现特定的简并，从而解释了这些理论的对数性质。对于临界稠密聚合物 LM(1,2)，已知 D(u) 和 T(u) 满足反演恒等式，使我们能够在任何表示中和所有系统尺寸 N 下获得精确本征值。对于 p'>2 的推广形式表现为 D(u) 和 T(u) 的多项式次数为 p' 的函数关系。这些关系源于对易传递缠结 D^{m,n}(u) 和 T^{m,n}(u) 的融合层次，其中 D(u)=D^{1,1}(u) 且 T(u)=T^{1,1}(u)。融合传递缠结由涉及 k=m 或 k=n 个节点上的 Wenzl-Jones 投影算子 P_k 的 (m,n)-融合面算子构造而成。某些投影算子 P_k 在 k>p'-1 时是奇异的，但我们论证 D^{m,n}(u) 和 T^{m,n}(u) 对所有 m,n 均有良定义。对于通用 lambda，我们推导了融合层次以及相关的 T-系统和 Y-系统。对于对数理论，融合层次在 n=p' 处的闭合转化为 D^{m,1}(u) 和 T^{m,1}(u) 的多项式次数为 p' 的函数关系。我们还推导了对数理论的 Y-系统的闭合。T-系统和 Y-系统是精确可积性的关键，我们观察到这些函数方程的底层结构与仿射李代数的 Dynkin 图有关。