稠密 $A_1^{(1)}$ 与稀疏 $A_2^{(2)}$ 环模型的模协变环面配分函数

本文在最简单的物理体系中研究环面上的 Yang-Baxter 可积稠密 $A_1^{(1)}$ 与稀疏 $A_2^{(2)}$ 环模型。在水平与垂直方向施加边界条件组合 $(h,v)$，其中 $h,v=0$ 和 $1$ 分别对应周期与反周期边界条件。非可缩与可缩环的逸度分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，其中 $\beta$ 与交叉参数 $\lambda$ 直接相关。在单位根处，即当 $\lambda/\pi\in\mathbb Q$ 时，这些模型为稠密 ${\cal LM}(p,p')$ 与稀疏 ${\cal DLM}(p,p')$ 对数极小模型，其中 $p,p'$ 为互质整数。我们猜想具有 $d$ 个缺陷的标准模中转移矩阵迹的标度极限，并利用 Markov 迹推导出共形配分函数 ${\cal Z}_{\textrm{dense}}^{(h,v)}(\alpha)$ 与 ${\cal Z}_{\textrm{dilute}}^{(h,v)}(\alpha)$。这些函数以 Di Francesco、Saleur 与 Zuber 的 Coulomb 气体论证中已知的函数 ${\cal Z}_{m,m'}(g)$ 表示，随后表示为 Verma 特征标上的半双线性形式。关键的是，我们发现稠密与稀疏模型的配分函数是相同的。这些共形配分函数的一致性提供了令人信服的证据，表明对于给定的 $(p,p')$，这些稠密与稀疏理论属于同一普适类。在 $\alpha=2$ 的单位根情形下，$(h,v)$ 模协变配分函数也可表示为涉及广义 Bezout 共轭的仿射 $u(1)$ 特征标上的半双线性形式。这些结果也给出了相应体系中 6-vertex 与 Izergin-Korepin 19-vertex 模型的模协变配分函数。