$\mathfrak{sl}(2)$ 环面 $1$ 点函数的模性质

共形场论及其以顶点算子代数或手征代数形式给出的公理化，最常在黎曼球面上考虑。然而，共形场论预期在任何黎曼曲面上均具有良好的定义，这一事实既是物理学中的重要约束，也是数学的一个有趣源泉。为此，透彻理解手征环面 1 点函数（理想情况下包括显式公式）是详细理解高亏格的先决条件。这些函数与特征标或真空环面 1 点函数的区别在于，其插入点被明确允许由顶点算子代数上的任意模（而不仅是顶点算子代数本身）来标记。引人注目的是，手征环面 1 点函数展现出有趣的模性质，我们在此以非负整数级上的单仿射 $\mathfrak{sl}(2)$ 顶点算子代数为例对此进行了探讨。我们确定了此类函数张成的空间的维数，选择自然基以构造向量值模形式，并描述了这些形式的同余性质。特别地，当插入点来自不同于顶点算子代数的单模时，我们找到了维数不超过三的所有向量值模形式空间的显式生成元。最后，我们利用有理顶点算子代数上的模范畴是模张量范畴这一事实，完全用范畴数据给出了模群对手征环面 1 点函数作用的显式公式。已知的特征标通常的模 $\mathsf{S}$ 和 $\mathsf{T}$ 矩阵并非模张量范畴的完备不变量，因此这些广义模数据是更精细不变量的良好候选。