关于单态顶点算子代数的正则化量子维数与假 Theta 函数

我们研究一类非 $C_2$-余有限的顶点算子代数，称为单态顶点算子代数，并建立了顶点算子代数理论、量子模形式与模张量范畴中若干重要概念之间的联系。具体而言，从单态顶点算子代数上模的特征标的显式公式出发（这些公式可用假 theta 函数及其导数表示），我们首先利用复参数 ${\epsilon}$ 对这些特征标进行形变。随后，应用正则化偏 theta 函数的模变换性质，研究不可约模正则化特征标的渐近行为并计算其正则化量子维数。我们还给出了正则化参数作为源自非典型块的融合簇的均匀化参数的纯几何描述。结果表明，量子维数的行为随 ${\epsilon}$ 实部的符号不同而有显著差异。当 ${\epsilon}$ 实部为正时，从装备 Verlinde 积的特征标空间到正则化量子维数空间的映射是一个真正的环同构；而当 ${\epsilon}$ 实部足够负时，其满射像给出了一个有理顶点算子代数的融合环。该有理顶点算子代数的模范畴应被视为通过量子群理论中广泛使用的半简化过程而获得。有趣的是，该顶点算子代数的模张量范畴结构常数也可由由 distinguished 非典型特征标构成的向量值量子模形式所探测。