具记忆抽象方程的指数吸引子及其在粘弹性中的应用

我们考虑如下形式的具记忆抽象方程：$$\partial_t \boldsymbol{x}(t)+\int_{0}^\infty k(s) \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t-s){\rm d} s+\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}(t)=0$$其中 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 是作用于某 Banach 空间上的算子，卷积核 $k$ 是一个单位质量的非负凸可和函数。该系统被转化为 Banach 空间上的常微分方程，以计入记忆的存在，既包括所谓的历史空间框架，也包括最小状态框架。主要的理论结果是一个定理，它提供了相关解半群拥有有限维指数吸引子的充分条件。作为应用，我们证明了出现在等温粘弹性理论中的积分微分方程 $$\partial_{tt} u - h(0)\Delta u - \int_{0}^\infty h'(s) \Delta u(t-s){\rm d} s+ f(u) = g$$ 指数吸引子的存在性，这仅是抽象模型的一个具体实现，其中定义了新核 $h(s)=k(s)+1$。