由两点源起始的 $\delta$-分布为初值的消失粘性极限的显式结构

在本文中，我们考虑一维零压气体动力学系统 $$u_t + \left( {u^2}/{2} \right)_x = 0,\ \rho_t + (\rho u)_x = 0$$ 在上半平面中以两个 $\delta$-分布的线性组合 $$u|_{t=0} = u_a\ \delta_{x=a} + u_b\ \delta_{x=b},\ \rho|_{t=0} = \rho_c\ \delta_{x=c} + \rho_d\ \delta_{x=d}$$ 为初值。此处 $a$、$b$、$c$、$d$ 是实数轴上有序为 $a < c < b < d$ 的相异点。我们的目标是通过相应的修正黏附模型 $$u^\epsilon_t + \left({(u^\epsilon)^2}/{2} \right)_x =\frac{\epsilon}{2} u^\epsilon_{xx},\ \rho^\epsilon_t + (\rho^\epsilon u^\epsilon)_x = \frac{\epsilon}{2} \rho^\epsilon_{xx}.$$ 详细分析该系统的消失粘性极限结构。为此，我们广泛使用了函数 erfc$: z \longmapsto \int_{z}^{\infty} e^{-s^2}\ ds$ 的各类渐近性质以及合适的 Hopf-Cole 变换。