板结构的渐近行为

本工作旨在研究当 $\delta\to 0$ 时，由厚度为 $2\delta$ 的板构成的结构的渐近行为。本研究在线性弹性框架内使用展开法进行。它基于结构位移的若干分解以及在固定区域上取极限。我们从研究板的位移开始。我们证明，任何位移都是涉及板中面法线的初等位移与和这些法线变形相关的残余位移之和。初等位移关于变量 $x_3$ 是线性的。它被写为 $U(x)+R(x)\land x_3e_3$，其中 U 是板中面的位移。我们给出了当 $\delta \to 0$ 时的先验估计和收敛结果。我们刻画了板的展开位移的极限以及应变张量的展开的极限。然后我们将这些结果推广到由板构成的结构。我们证明，结构的任何位移都是每块板的初等位移与一个残余位移之和。结构的初等位移在连接处与初等杆位移一致。任何结构的初等位移由两个属于 $H^1(S;\mathbb{R}^3)$ 的函数给出，其中 S 是结构的骨架（板中面集合）。其中一个函数：U 是骨架位移。我们证明 U 是一个拉伸位移与一个非拉伸位移之和。前者表征薄膜位移，后者是沿板方向的刚性位移并表征板的弯曲。最后，我们在线性化弹性系统中令 $\delta \to 0$ 取极限，一方面得到了极限拉伸位移满足的变分问题，另一方面得到了非拉伸位移极限满足的变分问题。