面向众多小区域的运动约束弹性体

我们研究受众多小区域约束运动条件的 hyperelastic 固体平衡问题，这些区域我们称为 perforation。这种约束对位移 $u(x)$ 的限制以相当一般的形式给出，即 $u(x) \in F_x$，其中 $F_x$ 为封闭集，从而包含约束条件、unilateral 约束、受控位移条件等，既在实体内部也在边界上。对于此类约束生效的区域被假设为足够小，以至于不会产生整体约束，但仍足够大，以对实体的行为产生非平凡影响。这在数学上通过引入两个小参数来实现：$\varepsilon$，描述 perforation 元素之间的距离，以及 $\delta$，描述 perforation 元素的大小。我们找到了该 perforation 效果非平凡的临界尺度，并以 $\Gamma$ 极限形式表达，其中约束被放宽，以积分形式的罚函数 $\varphi(x,u)$ 的形式出现。该函数由靠近 perforation 的 blow-up 程序决定，取决于 perforation 的形状、约束 $F_x$ 以及应变能密度 $\sigma$ 在无穷远处的渐近行为。我们给出了数学结果的简洁证明，并对一些简单而有意义的几何形状进行数值研究。