一维均匀解关于具有独立对流的交叉扩散系统

我们考虑描述两个物种 $u$ 和 $v$ 按达克定律运动的交叉扩散系统，其压力定律为 $p(s) = \frac{1}{\alpha-1} s^{\alpha-1}$ 其中 $s=u+v$。该领域最具挑战性的问题之一是，在不对场或初始条件施加任何人工结构的情况下构造解。虽然对流在这些模型中自然出现，但它破坏了系统的对称性，阻止了近年来开发技术的适用。本文提供了一种新方法，在一维空间中统一构造解，适用于所有压力指数 $\alpha \in (0,\infty)$ 和任意初始数据。特别地，在 $\alpha > 1$ 的范围内，这产生了首个无结构假设存在结果。我们将解构造为消失粘性近似 $(u_{\varepsilon}, v_{\varepsilon})$ 的极限。主要挑战在于识别 $u_{\varepsilon} \, \partial_x p(s_{\varepsilon})$ 的极限，其中 $s_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} + v_{\varepsilon}$。关键新见解是 $u_\varepsilon$ 和 $\partial_x p(s_\varepsilon)$ 可能的振荡是相关的，这简化了在补偿紧凑性论证中对 Young 测度的分析，从而允许识别极限。与 $2\times2$ 双曲型系统理论相反，论证仅依赖三个熵-熵流对。这在 $\alpha>2$ 时尤其有用，因为此时尚不清楚是否可获得额外的熵。