凸域上一类线性增长变分问题 $W^{1,1}$ 解的存在性

我们考虑一类凸积分泛函，其由关于自变量梯度的线性增长项以及涉及与给定数据的 $L^2$ 距离的保真项组成。已知此类泛函在 $BV$ 空间中达到其下确界。在积分区域为凸的假设下，我们证明若给定数据属于 $W^{1,1}$，则该泛函在 $W^{1,1}$ 中存在极小元。事实上，极小元从给定数据继承了任意 $p \in [1, +\infty]$ 的 $W^{1,p}$ 正则性。我们还获得了在给定数据属于 $BV$ 时极小元梯度奇异部分的定量估计。我们推导出底层线性增长泛函的梯度流的类似结果。我们允许任意线性增长的凸被积函数。