关于线性增长变分问题中边界数据取得问题

众所周知，具有线性增长且边界条件为Dirichlet的凸变分问题在边界条件未得到恰当松弛时可能不存在最小化器。我们证明了对于广泛的积分函数，包括最小梯度问题和非参数的Plateau问题，在边界满足均凸性条件下，松弛问题的最小化器在边界数据属于$BV$或$W^{\alpha,p}$（且$\alpha p\geq 2$）时，可在迹意义下取得边界数据，且无需任何连续性假设。与前期工作不同，我们的方法还能在积分函数满足一定准各向同性假设的前提下处理系统问题。进一步我们指出，在无需准各向同性假设的情况下，可在均匀凸域上构造光滑反例。我们还给出了关于最小化器唯一性、关于带Dirichlet边界条件的ROF泛函开放问题，以及最小梯度函数的迹空间等方面的进一步应用。