谱隙、覆盖流形与剩余有限群的存在性

在本文中我们考虑黎曼覆盖 $(X,g) \to (M,g)$，其覆盖群 $\Gamma$ 为剩余有限群且底空间 $(M,g)$ 紧。特别地，我们给出两种一般过程，得到一族形变覆盖 $(X,g_\eps) \to (M,g_\eps)$，使得当 $\eps$ 足够小时拉普拉斯算子 $\Delta_{(X_\eps,g_\eps)}$ 的谱至少具有指定有限个数的谱隙。若 $\Gamma$ 具有正的 Kadison 常数，则可应用 Br"uning 与 Sunada 的结果推得 $\spec \Delta_{(X,g_\eps)}$ 还具有带结构，并且对与区间 $[0,\lambda]$ 相交的 $\spec {\laplacian {(X,g_\eps)}}$ 分支个数 $N(\lambda)$ 有渐近估计。我们还给出几类符合上述构造的剩余有限群例子并研究其相互关系。最后，我们提及若干可能的结果应用。