凸余紧曲面的谱隙与阿贝尔覆盖

给定凸余紧双曲曲面 $X=\Gamma\backslash \mathbb{H}^2$，我们研究大有限阿贝尔覆盖 $X=\Gamma_j\backslash \mathbb{H}^2$ 上拉普拉斯算子 $\Delta_j$ 的共振谱 $\mathcal{R}_j$，其中 $\Gamma_j$ 是 $\Gamma$ 的有限指数正规子群。令 $\delta$ 为 $\Gamma$ 的极限集的 Hausdorff 维数。我们证明存在 $\varepsilon>0$，使得对所有 $j$，在 $\{ \delta-\varepsilon< \mathrm{Re}(s) \leq \delta \}$ 中的共振 $\mathcal{R}_j$ 均为实数，并满足由覆盖次数即 $\vert \Gamma/ \Gamma_j\vert$ 给出的 Weyl 律。特别地，我们证明了对于大虚部存在一致的共振隙，这是通过对转移算子的一致 Dolgopyat 估计得到的。证明的一个新要素是近期 Bourgain-Dyatlov（arXiv:1704.02909）获得的关于 Patterson-Sulivan 测度的振荡积分衰减。