紧双曲曲面的随机覆盖具有相对谱隙 $\frac{3}{16}-\varepsilon$

设 $X$ 为紧连通双曲曲面，即具有常曲率 -1 黎曼度量的闭连通可定向光滑曲面。对每个 $n\in\mathbf{N}$，令 $X_{n}$ 为 $X$ 的随机 $n$ 次覆盖，从所有 $n$ 次黎曼覆盖空间中均匀采样得到。$X$ 或 $X_{n}$ 的特征值是指相应拉普拉斯算子 $\Delta_{X}$ 或 $\Delta_{X_{n}}$ 的特征值。若 $X_n$ 的某个特征值比在 $X$ 中出现的次数更大，则称其为新特征值。我们证明对任意 $\varepsilon>0$，当 $n\to\infty$ 时以趋于 1 的概率，$X_n$ 在 $\frac{3}{16}-\varepsilon$ 以下无新特征值。我们猜想将 $\frac{3}{16}$ 替换为 $\frac{1}{4}$ 时同样结论成立。