$\mathbb{H}^1$中Lipschitz路径同伦类的长度极小元存在性

我们证明对于任意纯2-不可整流度量空间$M$，例如配备Carnot-Carathéodory度量的Heisenberg群$\mathbb{H}^1$，每个Lipschitz路径的同伦类$[\gamma]$都包含一个长度极小代表$\gamma_\infty$，其在重参数化下唯一。长度极小元$\gamma_\infty$是同伦类$[\gamma]$的核心，意指$\gamma_\infty$的像为$[\gamma]$中任一路径像的子集。此外，长度极小元的存在性保证：在$M$的带基点第一Lipschitz同伦群中，仅平凡类可由基点各邻域内的环路表示。此处详述的结果用于arXiv:2402.10420中以定义并证明$\mathbb{H}^1$上通用Lipschitz路径空间的性质。