作为 Carnot 群逆极限的签名空间

我们形式化了具有无界纤维的 $1$-Lipschitz 投影的度量空间逆系统极限的概念。目的是使用亚黎曼群来度量由 Chen 引入的欧氏空间中可求长路径的签名空间。该构造性极限空间在带 1-Lipschitz 映射的基点度量空间范畴中具有泛性质。在一般设定下讨论了一些度量性质，如测地线的存在性与提升。子测度（submetry）的概念将起关键作用。该构造被应用于固定秩 $n$ 且步长递增的自由 Carnot 群序列。在此情形下，该极限空间与 $\mathbb R^n$ 中可求长路径的签名空间相对应。Hambly-Lyons 关于签名唯一性的结果意味着该空间是一棵在每个点以无限价分支的测地度量树。作为一个特例推论，我们推得 $\mathbb R^n$ 中的每条路径都可由某 Carnot 群中某些测地线在秩 $n$ 下的投影来逼近，这给出了亚黎曼测地线复杂性随步长增加的证据。