一类临界非线性椭圆方程鼓包解的存在性、局部唯一性与周期性

我们重新考察如下非线性临界椭圆方程 \begin{equation*} -\Delta u+Q(y)u=u^{\frac{N+2}{N-2}},\;\;\; u>0\;\;\;\hbox{ in } \mathbb{R}^N, \end{equation*} 其中 $N\geq 5$。关于鼓包解的周期性似乎尚无结果。此处我们试图研究一些相关问题。假设 $Q(y)$ 在 $y_1$ 上以 1 为周期且在点 0 取得满足 $Q(0)=0$ 的局部极小值，我们证明了上述问题无穷多个鼓包解的存在性与局部唯一性。该局部唯一性结果意味着某些鼓包解保持势函数 $Q(y)$ 的对称性，即其爆破集为 $\{(jL,0,...,0):j=0,\pm 1, \pm 2,..., \pm m\}$ 的鼓包解必在 $y_{1}$ 上周期，只要 $L$ 足够大，其中 $m$ 为气泡个数，其足够大但与 $L$ 无关。此外，我们还证明了若 $Q(y)$ 的局部极小值不等于零，则上述问题的此类鼓包解不存在。