磁流体力学中一类守恒律奇异解的存在性与唯一性

Brio 系统是一个两乘两的守恒律方程组，作为理想磁流体动力学（MHD）中的简化模型而出现。该系统形式为 \begin{align*} \partial_t u+\partial_x \Big({\textstyle \frac{u^2+v^2}{2}}\Big)=0,\\ \partial_t v+\partial_x \big(v(u-1)\big)=0. \end{align*} 先前的工作发现，双曲守恒律的标准理论不适用于该系统，因为特征场在集合 $v=0$ 上并非真正非线性。因此，某些黎曼问题在传统的有界变差函数类中没有弱解。Nonlinearity 9, 1547--1563 (1996) 中指出，为求解该系统，可能必须使用沿激波含有 Dirac 质量的奇异解。此类解在 Proc. Edinb. Math. Soc. 55, 711--729 (2012) 与 Russ. J. Math. Phys. 22, 518--527 (2015) 中给出，但并未获得唯一性。在当前工作中，我们引入一个非线性变量变换，使得能够在标准守恒律理论框架内求解该黎曼问题。此外，我们发展了一个判据，由此得到原系统奇异解的可容许条件，并且可以证明在此处发展的框架中可容许解是唯一的。