有限 $\Phi^{3}$-$\Phi^{4}$ 混合矩阵模型的精确解与微扰计算

存在一个对应于称为 Grosse-Wulkenhaar 模型的标量场论的矩阵模型，该模型通过在 Moyal 空间上的标量 $\Phi^{4}$ 理论中加入谐振子势而可重整化。$\Phi^{4}$ 矩阵模型比 $\Phi^{3}$ 矩阵模型有更多未知之处，例如在可积性方面。我们于是构造了一个具有多重势的单矩阵模型（$\Phi^{3}$-$\Phi^{4}$ 混合矩阵模型），它是三点相互作用与四点相互作用的组合，其中 $\Phi^{3}$ 的三点相互作用乘以某个正定对角矩阵 $M$。由于该 $M$ 的作用，此模型可解。特别地，我们详细研究了 $\Phi^{3}$-$\Phi^{4}$ 混合矩阵模型的连通 $\displaystyle\sum_{i=1}^{B}N_{i}$ 点函数 $G_{|a_{N_{1}}^{1}\cdots a_{N_{1}}^{1}|\cdots|a_{1}^{B}\cdots a_{N_{B}}^{B}|}$。该 $\displaystyle\sum_{i=1}^{B}N_{i}$ 点函数可从几何上解释，并对应于画在具有 $B$ 个边界（穿孔）的黎曼曲面上的所有费曼图（带状图）之和。每个 $|a_{1}^{i}\cdots a_{N_{i}}^{i}|$ 表示每个费曼图中来自第 $i$ 个边界（穿孔）的 $N_{i}$ 条外线。首先，我们为 $\Phi^{3}$-$\Phi^{4}$ 混合矩阵模型构造费曼规则，并以常规方法计算若干多点函数的微扰展开。其次，我们计算配分函数 $\mathcal{Z}[J]$ 的路径积分，并利用该结果计算具有 $1$ 个边界的 $1$ 点函数 $G_{|a|}$、具有 $1$ 个边界的 $2$ 点函数 $G_{|ab|}$、具有 $2$ 个边界的 $2$ 点函数 $G_{|a|b|}$ 以及具有 $n$ 个边界的 $n$ 点函数 $G_{|a^{1}|a^{2}|\cdots|a^{n}|}$ 的精确解。它们包含了对应于非平面费曼图或高亏格曲面的费曼图的贡献。