软破缺 $O(\infty)$ 对称性的 $\phi^4$ 理论中阈值的精确多粒子振幅

我们考虑了在$\phi^4$理论中阈值处的多粒子产生问题，该理论具有$O(N_1$$+$$N_2)$对称性，通过不等的质量软破缺到$O(N_1)\times O(N_2)$。我们推导了多粒子振幅之间的递推关系组，该关系组在产生粒子数固定的大$N$极限下对所有相关图（具有任意圈数）求和。我们将其转化为一个量子力学问题，并展示了如何通过在大$N$下应用因子化直接从算符运动方程获得它。我们利用薛定谔算符对角预解式的Gelfand--Diki\u{\i}表示找到了问题的精确解。结果与树图振幅一致，而圈效应是耦合常数和质量的重新归一化。解的形式源于这样一个事实：当对入射粒子的$O(N_{1,2})$指标求平均时，在质量壳上$2$$\ra$$n$过程的精确振幅在$n$$>$$2$时消失。我们讨论了这一性质背后的动力学对称性。我们还给出了在$O(N)$$+$$singlet$标量粒子模型（具有反射对称性自发破缺）的大$N$极限下的精确解。