$\Phi_{2}^{3}$ 有限矩阵模型的精确解

我们找到了 $\Phi_{2}^{3}$ 有限矩阵模型(Grosse-Wulkenhaar 模型)的精确解。在 $\Phi_{2}^{3}$ 有限矩阵模型中，多点关联函数表示为 $G_{|a_{1}^{1}\ldots a_{N_{1}}^{1}|\ldots|a_{1}^{B}\ldots a_{N_{B}}^{B}|}$。由 $G_{|a_{1}^{1}\ldots a_{N_{1}}^{1}|\ldots|a_{1}^{B}\ldots a_{N_{B}}^{B}|}$ 表示的 $\displaystyle \sum_{i=1}^{B}N_{i}$ 点函数由具有 $B$ 个边界的黎曼面上的所有费曼图(带状图)求和给出，且每个 $|a^{i}_{1}\cdots a^{i}_{N_{i}}|$ 对应于从第 $i$ 个边界发出 $N_{i}$ 条外线的费曼图。已知任意 $G_{|a_{1}^{1}\ldots a_{N_{1}}^{1}|\ldots|a_{1}^{B}\ldots a_{N_{B}}^{B}|}$ 均可由 $G_{|a^{1}|\ldots|a^{n}|}$ 型 $n$ 点函数表达。因此我们聚焦于 $G_{|a^{1}|\ldots|a^{n}|}$ 的严格计算。得到了 $G_{|a^{1}|\ldots|a^{n}|}$ 的公式，这是通过由 Harish-Chandra-Itzykson-Zuber 积分算出的配分函数 $\mathcal{Z}[J]$ 实现的。我们给出 $G_{|a|}$、$G_{|ab|}$、$G_{|a|b|}$ 与 $G_{|a|b|c|}$ 作为具体的简单例子。它们全部由 Airy 函数描述。