$\mathbb{F}_1$-代数的 $\mathrm{G}$-理论 I：等变 Nishida 问题

我们发展了针对 $\mathbb{F}_1$-代数（即点化幺半群 $G$ 的点化 $G$-集的 $\mathrm{K}$-理论）的 $\mathrm{G}$-理论版本，并确立了其基本性质。我们构造了一个 Cartan 组装映射，以比较有限点化群的 Chu--Morava $\mathrm{K}$-理论与我们的 $\mathrm{G}$-理论。我们用某些分类空间的稳定同伦计算了有限点化群的 $\mathrm{G}$-理论群。我们在 $\mathbb{F}_1$ 上引入了一类 Loday--Whitehead 群，在合理假设下，它们允许映射到经典的 Whitehead 群。我们启动了一种利用组合 Grayson 运算的猜想形式体系，以解决等变 Nishida 问题——该问题询问 $\mathbb{S}^G$ 是否允许赋予 $\oplus_n\pi_{2n}(\mathbb{S}^G)$ 预 $\lambda$-环结构的操作，其中 $G$ 是有限群，$\mathbb{S}^G$ 是等变球谱的 $G$-不动点谱。