四维自对偶非交换$\phi^4$理论是一个非微扰可解且非平凡的量子场论

我们研究具有配分函数$Z[E,J]=\int dM \exp(\mathrm{trace}(JM-EM^2-(\lambda/4)M^4))$的四次矩阵模型。积分在厄米$N\times N$矩阵空间上进行，外部矩阵$E$编码动力学，$\lambda>0$是标量耦合常数，矩阵$J$用于生成关联函数。对于$E$不是单位矩阵倍数的情况，我们证明了一个通用代数递归公式，该公式用两点函数和$E$的不同本征值给出了所有高阶关联函数。两点函数本身满足一个封闭的非线性方程，必须针对给定的$E$逐例求解。这些结果表明，如果四次矩阵模型的两点函数可以通过质量和波函数重整化进行重整化，那么整个模型是可重整化的且$\beta$函数为零。作为主要应用，我们证明了在四维Moyal空间上具有谐振传播的欧几里得$\phi^4$量子场论，在其自对偶点和无限体积极限下，是精确可解且非平凡的。该模型是一个四次矩阵模型，其中$E$在$N\to\infty$时具有与四维拉普拉斯算子相同的谱。利用Carleman型奇异积分方程理论，我们精确计算了（在$N\to\infty$以及$E,\lambda$重整化后）自由能密度$(1/\mathrm{volume})\log(Z[E,J]/Z[E,0])$，表示为非线性积分方程的解。通过Schauder不动点定理证明了解的存在性。非线性积分方程的推导依赖于一个假设，我们对于耦合常数$0<\lambda\leq (1/\pi)$进行了数值验证。