基于双非负松弛与分裂方法的 NP 难 Wasserstein 重心问题精确解
最优化与控制
2025-11-07 v3
摘要
所谓的简化 Wasserstein 重心问题，亦称最廉价枢纽问题，是指从给定的 k 个集合（每个集合含 n 个点）中各选一个点，以最小化所选 k 个点到其重心的距离之和。该问题已知为 NP 难。我们通过利用欧氏距离矩阵结构获得面约简的双非负（DNN）松弛来计算 Wasserstein 重心。面约简为将对称交替方向乘子法（sADMM）应用于 DNN 松弛提供了自然的分裂。sADMM 方法利用子问题中的结构来寻找强上界与下界。此外，我们将问题推广到第 j 个集合允许有不同点数 n_j 的情形。本文目的有二：首先旨在阐明上述自然分裂方法的 DNN 松弛之优势；其次通过数值试验展示在随机问题上的惊人成功——我们通常能高效求得该 NP 难问题的可证明精确解。与现有商业软件的比较说明了这一惊人效率。然而，我们证明并指出了当问题具有足够多的多重最优解时存在对偶间隙，且其源于高度对称化结构的问题。
引用
@article{arxiv.2311.05045,
title = {Exact Solutions for the NP-hard Wasserstein Barycenter Problem using a Doubly Nonnegative Relaxation and a Splitting Method},
author = {Woosuk L. Jung and Henry Wolkowicz},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.05045},
year = {2025}
}