网络动力学模型中极端 Thouless 效应的精确结果

如果一个经历相变的系统表现出一级和二级相变的一些特征，则称其为“混合阶”或显示 Thouless 效应。这样一个相变出现在一个简单的动态社会网络模型中，其中 $N_{I/E}$ 个极端内向者/外向者总是切断/添加随机连边。特别地，模拟表明，$\left\langle f\right\rangle$（两组之间交叉连边的平均比例，在此作为“序参量”）在 $\Delta \equiv N_{I}-N_{E}$ 跨越“临界点” $\Delta _{c}=0$ 时急剧跳跃，如同典型的一级相变。然而，在临界处没有相共存，但 $f$ 的涨落比典型的二级相变大得多。事实上，有人猜想，在热力学极限下，跳跃和涨落都变为极大，从而该系统被称为显示“极端 Thouless 效应”。尽管早期的理论部分成功，我们提供了一种类平均场方法，解释了所有已知的模拟数据并验证了该猜想。此外，对于临界系统 $N_{I}=N_{E}=L$，介观状平稳分布 $P\left( f\right)$ 的解析表达式显示其在范围 $\left[ f_{0},1-f_{0}\right]$ 内基本平坦，其中 $f_0 \ll 1$。对 $f_{0}$ 的数值评估与 $L\lesssim 2000$ 的模拟数据极为吻合。对于大 $L$，我们发现 $f_{0}\rightarrow \sqrt{\left( \ln L^2 \right) /L}$，尽管这一行为仅在 $L>10^{100}$ 时才开始显现。对于可获取的 $L$ 值，我们提供了一个关于近似 $f_{0}$ 的超越方程，其在低至 $L=100$ 时误差优于 $\sim$1%。我们猜想此方法如何可用于攻克其他显示极端 Thouless 效应的系统。