$\mathcal{N}=4$ $SU(N)$ SYM 中一个积分关联函数的精确性质

我们给出了 $SU(N)$ $\mathcal{N}=4$ SYM 中四个超共形初级场积分关联函数的新表达式。该基于超对称局域化的积分关联函数已成为近期若干进展的主题。该关联函数被重新表述为二维格点上的求和，对所有 $N$ 及复 Yang-Mills 耦合 $\tau$ 的所有取值均成立。在此形式下，它对 $SL(2,\mathbb{Z})$ Montonen-Olive 对偶性显然不变。此外，它满足一个显著的拉普拉斯-差分方程，将 $SU(N)$ 与 $SU(N+1)$ 及 $SU(N-1)$ 关联函数联系起来。对任意固定的 $N$，该关联函数为非全纯 Eisenstein 级数 $E(s;\tau,\bar\tau)$（$s\in \mathbb{Z}$）与有理系数的无穷级数。积分关联函数的微扰展开是渐近的，且 $n$ 圈系数为 $\zeta(2n+1)$ 的有理倍数。$n=1$ 与 $n=2$ 项与直接由一圈和二圈微扰 SYM 表达式积分所得结果精确吻合。类似地，电荷-$k$ 瞬子贡献具有渐近但可 Borel 求和的微扰修正级数。固定 $\tau$ 时关联函数的大-$N$ 展开为 $N^{1/2-\ell}$（$\ell\in \mathbb{Z}$）幂次的级数，其系数为 $s\in \mathbb{Z}+1/2$ 的 $E_s$ 的有理和。这给出了近期猜想展开形式的所有阶推导。我们进一步考虑 't Hooft 大-$N$ Yang-Mills 理论。每一阶的系数可展开为 $\lambda$ 的收敛级数。对大 $\lambda$，这成为渐近级数，其系数再次为奇 zeta 值的有理倍数。大-$\lambda$ 级数不可 Borel 求和，其复现非微扰完备项为 $O(\exp(-2\sqrt{\lambda}))$。