从 ${\cal N} = 4$ 超杨-米尔斯理论看超弦理论中的模不变性

我们研究了 ${\cal N} =4$ $SU(N)$ 超杨-米尔斯理论中最低阶半BPS算符的四点函数，及其与IIB型超弦理论平空间四引力子振幅的关系。我们采用大-$N$ 展开，其中复化的杨-米尔斯耦合 $\tau$ 固定。在此展开中，存在非微扰瞬子贡献，且关联函数的 $SL(2, \mathbb{Z})$ 对偶不变性明显。我们的结果基于对质量形变SYM理论的球面配分函数的详细分析，该配分函数此前由超对称局域化算出。此配分函数决定了未形变 ${\cal N} = 4$ SYM理论中的某个积分关联函数，后者进而约束了分离点处的四点关联函数。在两点函数正比于 $N^2-1$ 且独立于 $\tau$ 和 $\bar \tau$ 的归一化下，我们发现大 $N$ 展开中四点关联函数的 $\sqrt{N}$ 阶和 $1/\sqrt{N}$ 阶项分别正比于非全纯Eisenstein级数 $E({\scriptstyle \frac{3}{2}},\tau,\bar\tau)$ 和 $E({\scriptstyle \frac{5}{2}},\tau,\bar\tau)$。在平空间极限下，这些项与源于 $R^4$ 和 $D^4 R^4$ 接触相互作用的IIB型S矩阵中的对应项相符，其中对于 $R^4$ 情形，这代表了在有限弦耦合下对AdS/CFT的检验。此外，我们给出了引人注目的证据，表明这些结果可推广为：在整数 $m \ge 0$ 的 $N^{\frac{1}{2}-m}$ 阶，我们所研究积分关联函数的展开式是具半整数指标、明显 $SL(2,\mathbb{Z})$ 不变的非全纯Eisenstein级数的线性组合。