通过 $SL(2,\mathbb{Z})$ 谱理论在 $\mathcal{N}=4$ SYM 中的积分关联函数

我们对四维 $\mathcal{N}=4$ 超 Yang-Mills 理论（规范群为 $SU(N)$）中半 BPS 算符的积分四点函数进行了系统研究。这些可观测量由 $\langle\mathcal{O}_2\mathcal{O}_2\mathcal{O}_p\mathcal{O}_p\rangle$ 的某时空积分定义，其中 $\mathcal{O}_p$ 是电荷为 $p$ 的超共形主算符，已知可通过超对称局域化计算，但仍是复规范耦合 $\tau$ 的非平凡函数。我们为这几类可观测量找到了显式且异常简单的结果，精确作为 $N$ 和 $\tau$ 的函数。在采用 $SL(2,\mathbb{Z})$ 谱分解后，它们的物理和形式性质被极大阐明：在此 S 对偶不变本征基中，积分关联函数仅由谱参数中的多项式固定。这些多项式由关联不同 $N$ 和 $p$ 的线性代数方程递归确定，使得所有积分关联函数最终由 $SU(2)$ 理论中的积分应力张量多重态确定。我们的计算包括低 $p$ 值下积分关联函数的完整矩阵，以及涉及任意 $p$ 算符的某无限类。后者满足对所有 $N$ 的开格点链方程，让人联想到 $\mathcal{N}=2$ 超共形理论中极值关联函数所满足的 Toda 方程。我们计算了这些可观测量的系综平均，并在大 $N$ 下分析了我们的解，确认并预测了半经典 AdS$_5\, \times$ S$^5$ 超引力振幅的特征。