非齐次度量测度空间上 Marcinkiewicz 积分的等价有界性

设 $({\mathcal X},\,d,\,\mu)$ 为满足 T. Hyt"onen 意义下的上加倍条件和几何加倍条件的度量测度空间。在本文中，作者证明了 Marcinkiewicz 积分的 $L^p(\mu)$ 有界性（其中 $p\in(1,\,\infty)$）等价于其从 $L^1(\mu)$ 到 $L^{1,\infty}(\mu)$ 的有界性，或从原子 Hardy 空间 $H^1(\mu)$ 到 $L^1(\mu)$ 的有界性。此外，作者表明，如果 Marcinkiewicz 积分从 $H^1(\mu)$ 到 $L^1(\mu)$ 有界，则它也从 $L^\infty(\mu)$ 到空间 ${\mathop\mathrm{RBLO}}(\mu)$（正则化 {\rm BLO}）有界，后者是 ${\rm RBMO}(\mu)$（正则化 {\rm BMO}）的一个真子集；反之，如果 Marcinkiewicz 积分从 $L_b^\infty(\mu)$（所有具有有界支撑的 $L^\infty(\mu)$ 函数集合）到空间 ${\rm RBMO}(\mu)$ 有界，则它也从有限原子 Hardy 空间 $H_{\rm fin}^{1,\,\infty}(\mu)$ 到 $L^1(\mu)$ 有界。这些结果即使在非加倍测度情形下也实质性地改进了已知结果。