Heisenberg 群上的 Flag Hardy 空间与 Marcinkiewicz 乘子：扩展版

尽管 Heisenberg 群 $H^{n}\simeq\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{R}$ 上缺乏双参数自同构伸缩群，Marcinkiewicz 乘子在该群上对于 $1<p<\infty$ 仍是 $L^{p}$ 有界的（D. Muller, F. Ricci 和 E. M. Stein）。这种伸缩的缺失导致经典单参数或双参数 Hardy 空间理论无法处理 $0<p\leq1$ 时 $H^{n}$ 上的 Marcinkiewicz 乘子。我们通过发展 Heisenberg 群上的 flag Hardy 空间 $H_{flag}^{p}$ ($0<p\leq1$) 理论来解决这一缺陷，该理论在某种意义上介于 $\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{R}$ 上的经典 Hardy 空间 $H^{p}$ 与乘积 Hardy 空间 $H_{product}^{p}$ 之间。我们证明了包括上述 Marcinkiewicz 乘子在内的 flag 奇异积分算子在 $H_{flag}^{p}$ 上有界，并且从 $H_{flag}^{p}$ 到 $L^{p}$ 也有界（$0<p\leq1$）。我们刻画了 $H_{flag}^{1}$ 和 $H_{flag}^{p}$ 的对偶空间，并建立了 Calder\'on-Zygmund 分解，从而得出 flag Hardy 空间 $H_{flag}^{p}$ 的标准插值定理。特别是，通过在 $H_{flag}^{p}$ 和 $L^{2}$ 的结果之间进行插值，可以恢复 $L^{p}$ 结果（但失去了正则性的尖锐性）。