以极大极大算子刻画非倍增测度下的原子空间 $H^1$

设 $\mu$ 为 $R^d$ 上的 Radon 测度，其可能非倍增。$\mu$ 必须满足的唯一条件是对于所有 $x,r$ 以及某个固定的 $0<n\leq d$，有 $\mu(B(x,r))\leq C r^n$。近来我们引入了 $BMO(\mu)$ 与 $H^1(\mu)$ 型空间，它们被证明在不假设倍增条件下研究 Calderón-Zygmund 算子的 $L^p(\mu)$ 有界性时十分有用。本文给出了用极大极大算子 $M_\Phi$ 对新原子空间 $H^1(\mu)$ 的刻画。证明了 $f$ 属于 $H^1(\mu)$ 当且仅当 $f\in L^1(\mu)$、$\int f d\mu=0$ 且 $M_\Phi(f)\in L^1(\mu)$，一如通常的倍增情形。除了上述大小条件外，$\mu$ 缺乏任何正则性条件，是将经典论证推广至当前情形时出现的主要困难之一。