规范场螺旋度与欧氏自对偶性的等价性

在自由电磁场的典则形式中，麦克斯韦方程的解通常以其初始规范势（库仑规范下）和初始电场标识，二者共同确定相空间中的一个点。其平面波展开中所有平面波均具有正螺旋度的麦克斯韦方程解，由此确定相空间的一个子空间。我们将证明该子空间由位于算符 curl 正谱子空间中的初始规范势以及与之共轭的初始电场构成。负螺旋度情形类似。因此，螺旋度由位形空间中 curl 的谱子空间刻画。三维空间上的规范势可泊松延拓至四维欧氏半空间，定义为以给定规范势为初始数据的 Maxwell-Poisson 方程的解。我们将证明该延拓是反自对偶的，当且仅当规范势位于 curl 的正谱子空间。自对偶延拓与负谱子空间情形类似。因此，对于可归一化电磁场，螺旋度由典则形式与（反）自对偶性刻画。对于闵可夫斯基空间上的非阿贝尔规范场，平面波展开不是规范不变的，curl 正谱子空间的概念也不是。但如果用 Yang-Mills-Poisson 方程替代 Maxwell-Poisson 方程，则欧氏侧的（反）自对偶性诱导出（现为非线性的）位形空间的一个分解，类似于电磁情形。这一强类比提示了非阿贝尔规范场螺旋度的一种规范不变定义。我们将为此观点提供进一步支持。