齐性空间中多项式有界 o-极小曲线的等分布

我们将 Ratner 关于李群有限体积齐性空间上单演流单个轨道等分布的定理推广到在多项式有界 o-极小结构中可定义的非收缩曲线轨迹。精确地说，设 $\varphi:[0,\infty)\to \text{SL}(n,\mathbb R)$ 是一个连续映射，其坐标函数在多项式有界 o-极小结构中可定义；例如，有理函数。假设 $\varphi$ 是非收缩的；即，对于 $\mathbb R^n$ 中任意线性无关的向量 $v_1,\ldots,v_k$，当 $t\to\infty$ 时，$\varphi(t).(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)\not\to0$。那么，存在一个由单参数单演子群生成的 $\text{SL}(n,\mathbb R)$ 的唯一最小子群 $H_\varphi$，使得当 $t\to\infty$ 时，在 $\text{SL}(n,\mathbb R)/H_\varphi$ 中 $\varphi(t)H_\varphi\to g_0H_\varphi$ 对某个 $g_0\in \text{SL}(n,\mathbb R)$ 成立。设 $G$ 是 $\text{SL}(n,\mathbb R)$ 的闭子群，$\Gamma$ 是 $G$ 中的格点。假设 $\varphi([0,\infty))\subset G$。则 $H_\varphi\subset G$，并且对于任意 $x\in G/\Gamma$，当 $T\to\infty$ 时，轨迹 $\{\varphi(t)x:t\in [0,T]\}$ 关于测度 $g_0\mu_{Lx}$ 是等分布的，其中 $L$ 是 $G$ 的闭子群，使得 $\overline{Hx}=Lx$ 且 $Lx$ 具有唯一的 $L$-不变概率测度，记为 $\mu_{Lx}$。本工作一个关键的新要素是证明：对于 $\text{SL}(n,\mathbb R)$ 的任何有限维表示 $V$，存在 $T_0>0$、$C>0$ 和 $\alpha>0$，使得对于任意 $v\in G$，映射 $t\mapsto \|\varphi(t)v\|$ 在 $[T_0,\infty)$ 上是 $(C,\alpha)$-良好的。