膨胀解析曲线上稀疏点在环面上的像

已知平面上半径为 $\rho$ 的圆在 $\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$ 中的像随着 $\rho\to\infty$ 变得等分布。我们考虑此现象的如下稀疏版本。从一列发散到 $\infty$ 的半径 $\left\{ \rho_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}$ 和一个角度 $\omega\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 出发，我们考虑被角度 $\omega$ 旋转并以因子 $\rho_{n}$ 膨胀的第 $n$ 个单位根到 $\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$ 的投影。我们证明若 $\rho_{n}$ 关于 $n$ 为多项式有界，则这些稀疏集合的像变得等分布；此外，若 $\rho_{n}$ 以任意快的速度增长，则我们证明对几乎所有 $\omega$ 等分布成立。有趣的是，我们发现对任意角度都存在一个增长到 $\infty$ 且快于任何多项式的半径序列，使得等分布严重失效。在更一般的情形下，我们对 $\mathbb{R}^{d}$ 中变解析曲线的膨胀证明了此类结果。证明的一个新颖组成部分是利用 o-极小结构理论来控制指数和。