测地流下 $\mathrm{T}^1(\mathbb{H}^n)$ 中的扩张曲线与齐性空间中的等分布

设 $H = \mathrm{SO}(n,1)$，$A =\{a(t) : t \in \mathbb{R}\}$ 为 $H$ 的一个极大 $\mathbb{R}$-分裂 Cartan 子群。设 $G$ 为包含 $H$ 的 Lie 群，$\Gamma$ 为 $G$ 的一个格。设 $x = g\Gamma \in G/\Gamma$ 为 $G/\Gamma$ 中的一点，且其 $H$-轨道 $Hx$ 在 $G/\Gamma$ 中稠密。设 $\phi: I= [a,b] \rightarrow H$ 为一条解析曲线，则 $\phi(I)x$ 给出 $G/\Gamma$ 中的一条解析曲线。在本文中，我们将证明以下结果：若 $\phi(I)$ 满足某些明确的几何条件，则当 $t \rightarrow \infty$ 时，$a(t)\phi(I)x$ 趋于在 $G/\Gamma$ 中等分布。这回答了 Shah 在~\cite{Shah_1} 中提出的第一个问题，并推广了该论文的主要结果。