齐次空间上的有界与发散轨迹及扩张曲线

设 $g_t$ 为李群 $G$ 的 $1$-参数 $\mathrm{Ad}$-可对角化子群，$\Gamma < G$ 为格。我们研究 $g_t$ 在齐次空间 $G/\Gamma$ 上由不稳定叶层中的一类曲线出发的有界与发散轨道的维数。我们得到了平均发散轨道的 Hausdorff 维数的锐上界，并证明有界轨道集在 Schmidt 意义下是 winning 的（因此具有满维数）。我们所研究的曲线类大致由与 $G$ 内 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 的拷贝相切来刻画，这些拷贝不包含于 $G$ 的真抛物子群中。我们描述了我们的结果在数域丢番图逼近与球面上内蕴丢番图逼近问题中的应用。我们的方法亦给出关于平方线性型系统空间中直线的如下结果：设 $\varphi(s) = sY + Z$，其中 $Y\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 且 $Z\in M_{n,n}(\mathbb{R})$。则使得 $\varphi(s)$ 为奇异的点的集合的维数至多为 $1/2$，而坏逼近点的 Hausdorff 维数等于 $1$。