基于图与射影极限的连接空间上的微分几何

在规范理论（包括广义相对论）的量子力学处理中，人们需考虑规范等价连接空间 $\ag$ 的某个完备化 $\agb$。该空间用作量子位形空间，或用作量子理论中必须在其上积分的所有欧氏历史的空间。$\agb$ 是一个非常大的空间，并作为 Wilson 圈可观测量有良好定义的那些理论中测度的“普适家园”。本文将 $\agb$ 视为由图（在物理学术语中可看作“浮动晶格”）标记的紧 Hausdorff 流形射影族的一个射影极限。利用这一刻画，通过代数方法发展微分几何。特别地，我们能在 $\agb$ 上引入以下概念：微分形式、外导数、体积形式、向量场及其间的 Lie 括号、向量场相对于体积形式的散度、Laplacian 及相关的热核与热核测度。因此，尽管 $\agb$ 非常大，它仍足够“小”以具有数学趣味与物理用途。此方法的一个关键特征是不需要背景度规。该几何框架因而非常适用于如量子广义相对论这类微分同胚不变理论。