阿基米德铺砌上的本征函数与积分态密度

我们研究由正凸多边形铺砌的欧几里得平面上的 11 种阿基米德铺砌的组合拉普拉斯算子的 $\ell^2$-本征函数的存在与不存在。我们证明其中恰好有两种铺砌（即 $(3.6)^2$ “Kagome”铺砌与 $(3.12^2)$ 铺砌）具有 $\ell^2$-本征函数。这些本征函数具有无穷退化度，并由明确描述的支持在底层图有限个顶点（分别为铺砌中的六边形与 $12$ 边形）上的本征函数构成。此外，我们用 Floquet 矩阵的特征值给出阿基米德铺砌上拉普拉斯算子的积分态密度（IDS）的显式表达式，并推导出 $(4^4)$、$(3^6)$、$(6^3)$、$(3.6)^2$ 与 $(3.12^2)$ 铺砌上拉普拉斯算子 IDS 的积分公式。我们的证明方法也可应用于其他 $\mathbb{Z}^d$-周期图。