平均数量曲率对黎曼流形的影响

我们研究平均数量曲率对闭黎曼流形$N$（或更一般地，具有有限体积且其在$SN$上的负Ricci曲率积分为有限的$N$）的共轭半径、测地球面的平均面积、度量球的平均体积以及总体积的影响。例如，我们证明若平均数量曲率大于归一化Ricci曲率的下界，则可改进任意尺寸度量球平均体积的Bishop-Gromov估计。我们还证明了当平均数量曲率有下界时某一几何积分的单调递减性质。这导出了半径不超过$\mathrm{inj}(N)$的测地球面平均总平均曲率的一个比较定理。