黎曼超曲面的总平均曲率

借助 Reilly 恒等式,我们得到黎曼超曲面平均曲率积分的比较公式。作为应用,我们导出 Cartan-Hadamard 流形 $M$ 中凸超曲面 $\Gamma$ 的若干几何不等式。特别地,我们证明嵌套于 $\Gamma$ 内的凸超曲面 $\gamma$ 的第一平均曲率积分不超过 $\Gamma$ 的相应积分,由此在维数 $3$ 时给出 $\Gamma$ 在 $M$ 中所围体积意义上的总第一平均曲率的尖锐下界。当 $\gamma$ 与 $\Gamma$ 平行,或 $M$ 具有常曲率时,该单调性推广至所有平均曲率积分。我们还刻画了双曲球作为 Cartan-Hadamard 流形中同半径球之间平均曲率积分极小者的特征。