二维自由表面流体力学中极点的动力学：新的运动常数

我们研究具有自由表面和无限深度的理想不可压缩流体在重力与表面张力作用下的二维几何中的势运动问题。采用将变量 $w$ 的下复半平面随时间 $t$ 共形映射到充满流体区域的函数 z(w,t)。我们研究 z(w,t) 与复流体势 Pi(w,t) 在 $w$ 的上复半平面中奇点的动力学。我们证明了存在具有任意有限个数 $N$ 个位于 z_w(w,t) 与 Pi_w(w,t)（即 z(w,t) 与 Pi(w,t) 对 $w$ 的导数）中的复极点的解。在零表面张力时极点阶数可任意，而在非零表面张力时所有阶数均为偶数。我们发现 z_w(w,t) 在这 $N$ 个极点处的留数是新的、先前未知的运动常数，关于初步结果亦见 V.E. Zakharov 与 A. I. Dyachenko，arXiv:1206.2046 (2012)。所有这些运动常数在底层哈密顿动力学意义下彼此对易。在无重力与表面张力时，Pi_w(w,t) 的留数也是运动常数，而非零重力 $g$ 使得这些留数对时间呈平凡的线性依赖。z_w(w,t) 与 Pi_w(w,t) 在每个极点位置处的 Laurent 级数展开揭示了二阶极点存在额外运动积分。若所有极点均为单极点，则独立实运动积分个数为零重力时 4N、非零重力时 4N-1。对于二阶极点，我们发现零重力时 6N 个运动积分、非零重力时 6N-1 个。我们认为这些非平凡运动常数的存在支持了深水中自由表面流体力学完全可积这一猜想。