重力场中两相无粘流体自由边界的奇异与正则分析

在本文中，我们考虑重力场中两相无粘不可压缩流体的一个自由边界问题。重力场的存在引发了新的现象，即两相流的自由表面上可能存在一些驻点，在这些点上流体的速度场消失。从数学的角度来看，流函数的梯度在驻点附近退化，导致自由表面出现奇异行为。本研究的主要目的是研究两相自由表面的奇异性和正则性，并考虑二维情形下两种不可压缩流体之间的相互作用。更准确地说，如果两种流体在局部仅交于一点，即所谓的可能两相驻点，我们证明两相自由表面的奇异侧呈现对称的 Stokes 奇异剖面，而该点附近的正则侧则保持 $C^{1,\alpha}$ 正则性。另一方面，如果两种流体的自由表面粘合在一起，并在驻点处具有非平凡的公共重叠边界，那么两种流体之间的相互作用将破坏 Stokes 角剖面的对称性，该角剖面附着于另一侧的 $C^{1,\alpha}$ 正则自由表面。作为我们分析的一个副产品，结果表明两种流体的速度场不能同时在两相自由边界上消失。我们的结果推广了关于单相重力水波的 Stokes 猜想的重要工作 [Vărvărucă-Weiss, Acta Math., 206, (2011)]，以及关于无重力两相流体自由边界的正则性结果 [De Philippis-Spolaor-Velichkov, Invent. Math., 225, (2021)]。