两相轴对称无粘流体自由边界的正则性

在开创性论文 (Alt, Caffarelli and Friedman, Trans. Amer. Math. Soc., 282, (1984).) 中，通过所谓的 ACF 能量泛函研究了二维两相流体自由边界的正则性。结果表明自由边界具有$C^1$正则性，并断言在某些附加假设下两个自由边界重合。随后，应用 Harnack 不等式的标准技术可将正则性提升至$C^{1,\eta}$。两相流体正则性方面的近期重大突破归功于 De Philippis, Spolaor 和 Velichkov，他们研究了两相泛函下的两相流体自由边界 (De Philippis, Spolaor and Velichkov, Invent. Math., 225, (2021).)，并在二维情形下给出了整个自由边界的$C^{1,\eta}$正则性。此外，两相流体的自由边界并不重合，且零水平集可能具有正的 Lebesgue 测度。在本文中，我们考虑两相轴对称流体的自由边界，并证明自由边界是$C^{1,\eta}$光滑的。零水平集的 Lebesgue 测度也可能为正，主要区别在于退化椭圆算子和自由边界条件。更确切地说，我们使用部分边界 Harnack 不等式并建立一个线性化问题，其解的正则性意味着两相自由边界的平坦度衰减。随后，迭代论证给出了自由边界的光滑性。