自由边界不可压缩 Navier-Stokes 方程的行波解

本文研究了维数 $n \ge 2$ 下由 Navier-Stokes 方程建模的有限深度黏性不可压缩流体层。假定流体下方以平坦刚性表面为界，上方以自由运动界面为界。均匀重力场垂直于平坦表面作用，我们考虑自由界面上有无表面张力的情形。除这些重力-毛细效应外，我们允许体中存在第二力场以及自由界面上存在外部应力张量，二者均被设定为行波形式，即在以平行于刚性下边界的恒定速度移动的坐标系中观测时与时间无关。我们证明，在维数 $n \ge 2$ 有表面张力以及维数 $n=2$ 无表面张力的情形下，对任意非平凡行波速度，均存在非空开集的力和应力数据可生成行波解。尽管无黏行波的存在性已为人所知，但据我们所知，这是首次构造出黏性行波解。我们的证明涉及若干新的分析要素，包括：对过度确定的 Stokes 问题及其欠确定伴随问题的研究、对由 Stokes 算子定义的法向应力到法向 Dirichlet 映射符号的精细渐近展开、一种新的专用各向异性 Sobolev 空间尺度，以及对综合作用于自由表面函数的各种算子的伪微分算子的研究。