离散 Painlevé I 方程非极点解的动力学
动力系统
2022-10-04 v2 可精确求解与可积系统
摘要
本手稿对离散 Painlevé I 方程（dP1）的非极点解提出了新的理解。作为解析完全可积差分方程的非自治对应，该系统具有丰富的动力学结构。此外，其随迭代指标 增大而无界增长的非极点解，对其他数学领域尤为相关。我们结合理论、渐近分析与高精度数值模拟，得到如下图像：当向后延拓迭代时，已知的 dP1 非极点解构成无穷远处两个不动点之间的一族异宿连接。其中一个解——正交多项式理论中的 Freud 轨道——是该族中其他解的奇异极限。在其渐近极限附近，所有解都收敛到 Freud 轨道；当将 dP1 写为三维自治系统时，该轨道沿其不变曲线，并沿中心流形到达正无穷远处的点。这一描述带来两个重要结果。首先，Freud 轨道分别在 的大正值和负值处跟踪 dP1 自治对应系统的周期 1 和周期 2 点序列。其次，我们给出了一种优雅的方法，以获得大正值 下 Freud 轨道上迭代的渐近展开。由此图像浮现的不变流形结构，有助于更深入地理解一类有趣的离散动力系统的全局分析。
引用
@article{arxiv.2109.03384,
title = {Dynamics of Non-polar Solutions to the Discrete Painlev\'e I Equation},
author = {Nicholas Ercolani and Joceline Lega and Brandon Tippings},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.03384},
year = {2022}
}