Dold-Gauss 同余、范数下降与有理刚性

我们为欧拉乘积发展了一种 Witt-Hadamard 演算，将经典的 Gauss 同余与其现代精炼形式 Dold 同余统一起来。在此框架内，我们证明了\emph{范数下降}：Dold 同余在有限扩张下是函子的，且被素理想范数 $N_{K/\mathbb{Q}}$ 保持，从而由代数幽灵产生整数幽灵。我们将该理论从 $\mathbb{Z}$ 推广到 Dedekind 整环，并证明整性在 Hadamard 和 Witt 乘积下均是稳定的。两个刚性定理处于核心地位：一个是\emph{分圆留数定理}，断言若对数导数仅有分圆极点，则整性强制有理性；另一个是更强的\emph{Dold$^{+}$ 刚性定理}，表明任何满足精炼 Dold 同余的代数级数必然是有理的。这些结果锐化了 Gauss-Dold 图景：普通同余强制整性，而加强形式将代数情形坍缩为有理情形。应用包括数域中的素理想阶梯以及动力系统 zeta 函数的精确乘积定律，并以有限型子移位和圆倍乘为例进行了说明。